Sistemas de ecuaciones lineales con dos incognitas
Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos
de ellas es encontrar su solución común.
aX + bY = C1
dX + mY = C2
La solución de un sistema es un par de números X, Y tales que
reemplazandolos por X e Y en ambas ecuaciones satisfacen las ecuaciones es decir cumplen los valores
Ejemplo:
3X– 4Y = -6
2X + 4Y = 16
x = 2, y = 3
Prueba usando los valores de X e Y dados
3 * 2 - 4 *3 = -6
2*2 + 4*3 = 16
Luego X = 2 Y = 3 son la
solución del sistema
Métodos algebraicos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales con
dos incognitas
Método de sustitución
Teniendo las dos ecuaciones
3X + Y = 22 y 4X – 3Y = -1
3X + Y = 22 Llamamos a
esta la ecuación 1
4X - 3Y = -1 Llamamos a
esta la ecuación 2
A partir de la 1 despejamos la Y
Y = 22 – 3X a esta
ecuación la llamamos 3
El valor de Y lo reemplazamos en la ecuación número 2
O Sea 3 en 2
4X – 3(22 – 3X) = -1
Resolviendo la ecuación
4X – 66 + 9X = -1 paso el -66
para el otro lado del igual
4X + 9X = -1 + 66 Sumo los términos semejantes al lado
izquierdo del igual y los términos independientes al lado derecho.
13X = 65 paso el número 13 a
dividir al otro lado del igual
X = 65/13 entonces X = 5
X = 5 será la ecuación número 4
Reemplazo la ecuación número 4 es decir el valor de X = 5 en la
ecuación número 3
( Y = 22 – 3X)
Y = 22 – 3(5)
Y = 22 -15
Y = 7
Así se obtiene la solución del
sistema de ecuaciones lineales, que para este caso su solución es:
X = 5
Y = 7
Método de igualación
Teniendo las dos ecuaciones
3X + Y = 22 y 4X – 3Y = -1
Procederemos de la siguiente forma para aplicar el método de igualación
3X + Y = 22 la llamaremos la ecuación 1
4X – 3Y = -1 la llamaremos la ecuación 2
En ambas ecuaciones despejamos la misma variable, para este caso será
la variable Y
3X + Y = 22
Y = 22 – 3X La llamamos ecuación
3
4X – 3Y = -1
-3Y = -1 -4X
Y = - 1 – 4X
-3
Y = 1 + 4X La llamamos ecuación 4
3
Ahora igualamos los elementos derechos de cada ecuación ( la número 3 y
la número 4)
Y = 22 – 3X
Y = 1 + 4X
3
22 – 3X = 1 + 4x para
despejar X
3
3 (22 – 3X) = 1 + 4X
66- 9X = 1 + 4X
-9X – 4X = 1 – 66
-15X = -55
X = -55
-15
X = 5
Ahora reemplazo el valor X = 5 en la ecuación 3 Y = 22 – 3X
Y = 22- 3(5)
Y = 22 – 15
Y = 7
Método de reducción
Teniendo las dos
ecuaciones
3X + Y = 22 y
4X – 3Y = -1
El método de reducción consiste en eliminar una de las variables
incógnitas mediante una suma o resta, para lo cual esa variable tiene que tener
coeficientes iguales y con signo contrario en las dos ecuaciones, para ello una
de las ecuaciones debe multiplicarse por un factor que nos permita tener esos
dos coeficientes iguales
Ejemplo:
Si 3X + Y = 22 es la ecuación 1
4X -3Y = -1 es la ecuación 2
Multiplico la ecuación 1 por el factor 3 y obtengo
 |
9X + 3Y = 66
4X – 3Y = -1
Sumando las dos ecuaciones nos queda
13X + 0 = 65
Despejando X
X = 65
13
X = 5
Ahora se eemplaza este valor en cualquiera
de las dos ecuaciones
3X + Y = 22
3(5) + Y = 22
15 + Y = 22
Y = 22 -15
Y = 7
Así queda solucionado el sistema lineal
X= 5
Y = 7
Se ha mostrado el mismo sistema lineal
resuelto por tres métodos.
No hay comentarios:
Publicar un comentario